【8个常用泰勒公式有哪些】在数学分析中，泰勒公式是一种将函数展开为无穷级数的重要工具，广泛应用于近似计算、微分方程求解以及数值分析等领域。不同的函数在特定点处的泰勒展开形式各异，但有一些常见的泰勒公式被广泛使用。以下是对8个常用泰勒公式的总结与归纳。

一、常见泰勒公式的总结

1. e^x 的泰勒展开式

在 x=0 处（即麦克劳林展开）：

$$

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$

2. sin(x) 的泰勒展开式

在 x=0 处：

$$

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

$$

3. cos(x) 的泰勒展开式

在 x=0 处：

$$

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

$$

4. ln(1+x) 的泰勒展开式

在 x=0 处（收敛域为 -1 < x ≤ 1）：

$$

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots

$$

5. 1/(1-x) 的泰勒展开式

在 x=0 处（收敛域为 x < 1）：

$$

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

$$

6. arctan(x) 的泰勒展开式

在 x=0 处：

$$

\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

$$

7. (1+x)^k 的泰勒展开式

在 x=0 处（广义二项式展开）：

$$

(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n

$$

其中 $\binom{k}{n} = \frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}$

8. tan(x) 的泰勒展开式

在 x=0 处（仅适用于前几项）：

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots

$$

二、常用泰勒公式一览表

三、小结

以上是8个在数学和工程中非常常用的泰勒展开公式。它们不仅有助于理解函数的局部行为，还能用于近似计算和理论推导。掌握这些公式对于学习高等数学、物理和工程学具有重要意义。在实际应用中，可以根据需要选择适当的展开项进行近似，从而提高计算效率和精度。