【10个常用麦克劳林公式】麦克劳林公式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例，广泛应用于数学分析、物理和工程计算中。它将一个函数表示为以 $ x $ 的幂次方组成的无穷级数，便于近似计算和理论分析。以下是10个常用的麦克劳林公式，适用于常见的初等函数。
一、
麦克劳林展开是将函数在原点附近用多项式形式表达的方法，其核心思想是利用函数在 $ x=0 $ 处的各阶导数值构造多项式。这些公式不仅有助于理解函数的行为，还能用于数值计算中的近似求解。以下列出的10个公式涵盖了指数函数、三角函数、对数函数、反三角函数及多项式函数等常见类型，具有较高的实用价值。
二、常用麦克劳林公式表
| 函数 | 麦克劳林展开式（前几项） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ (1+x)^a $ | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、说明
以上公式均为标准形式，部分函数如 $ \arcsin x $ 和 $ (1+x)^a $ 展开时需要使用更复杂的系数表达方式。实际应用中，可以根据所需精度截断级数，从而得到近似值。此外，注意收敛区间的限制，特别是在处理对数函数或有理函数时，避免在不收敛的区域进行展开。
通过掌握这些常用麦克劳林公式，可以更高效地进行数学建模与数值计算，是理工科学生必备的基础知识之一。
