在数据分析和统计学中，一元线性回归是一种用来描述两个变量之间关系的方法。它通过构建一条直线来表示自变量（X）与因变量（Y）之间的关系，这条直线被称为回归线。而一元线性回归的核心公式就是用于计算这条直线的具体表达式。

为了推导出这个公式，我们首先需要理解几个关键概念。假设我们有一组数据点 (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xn, yn)，这些数据点代表了自变量和因变量的实际观测值。我们的目标是找到一个最佳拟合直线 y = a + bx，其中a是截距，b是斜率。

推导这个公式的步骤通常包括以下几个方面：

1. 最小化误差平方和：为了找到最优的直线，我们需要定义一个衡量误差的标准。最常用的方法是最小化误差平方和，即所有数据点到直线的距离的平方和最小化。这被称为最小二乘法。

2. 建立目标函数：设误差平方和为S，则有 S = Σ(yi - (a + bxi))²，其中yi是实际观测值，a + bxi是预测值。我们的任务是找到使S最小化的a和b。

3. 求偏导数并解方程组：对上述目标函数分别对a和b求偏导数，并令其等于零，得到两个关于a和b的线性方程。通过解这个方程组可以得到a和b的具体表达式。

4. 得出最终公式：经过一系列数学运算后，我们可以得到a和b的最终表达式：

- b = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ(xi - x̄)²

- a = ȳ - b x̄

其中，x̄和ȳ分别是所有xi和yi的平均值。

通过以上步骤，我们就得到了一元线性回归方程的具体形式。这种方法不仅简单易懂，而且具有很强的应用价值，在实际问题解决过程中被广泛采用。

总结来说，一元线性回归方程的推导过程涉及到了误差最小化原则以及利用微积分中的偏导数知识。最终得到的结果能够帮助我们更好地理解和预测变量间的关系。